Nociones Basicas

Términos NO Definidos

La geometría se basa en tres objetos primitivos(¿intuitivos?) Punto, Recta y Plano, que no es posible definir sino por medio de las relaciones que guardan entre ellos, estos objetos son ideales en el sentido en que no son tangibles, es decir usted nunca podrá ver ni tocar, un punto,  una recta o un plano.

Punto:
Para los Griegos el punto era "lo que no se puede dividir",  es decir, en un punto solo puede caber un punto, y es la base de toda la geometría, pues con los puntos se forman rectas, y con las rectas se forman planos, es decir todo son puntos.

El punto no tiene dimensión, o se dice que tiene dimensión cero.

Postulados relacionados al punto:

• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y sólo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Recta:
Para Euclides, una recta es  "Una longitud sin anchura", una de las características de la recta es el hecho de que la distancia mas corta entre dos puntos es una linea recta


Postulados relacionados a la recta:

• Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta.
• Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado(Este es el polemico quinto postulado, que dio origen a las geometrias no euclidianas).

Plano:
Para Euclides un Plano o superficie es "aquello que solo tiene longitud y anchura", el plano esta formado por infinitas rectas, una característica de un plano es la siguiente definición dada también por Euclides de los extremos de un plano,
"Los extremos de una superficie son líneas".

Postulados relacionados con el plano:

• El plano es un conjunto de puntos.
• Tres puntos distintos y no colineales determinan un único plano.
• Un plano contiene al menos tres puntos no colineales.

El Quinto Postulado

Si vamos a hablar de geometría euclidiana, sin duda se debería empezar por el quinto postulado de Euclides
Entendemos por postulado o axioma
"Una verdad evidente que no necesita ser demostrada"

 

Postúlese... Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Euclides

Este postulado se podria decir que es el que en si mismo define la geometria euclidiana, pues debido a la polémica que este causo durante 22 siglos, en los cuales muchos matemáticos y no matemáticos, trataron de demostrar que por su enunciado bastante complicado y largo, debía de ser un teorema y no un postulado, es decir que este podría deducirse de los primeros cuatro postulados como una consecuencia.

Una formulación equivalente al quinto postulado es:

"La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo cualquiera es igual a 180°"

Por ejemplo Legendre entre otros, creyó haber demostrado el quinto postulado negándolo es decir considero los únicos tres posibles casos de esta formulación equivalente:

1. La suma de las medidas de los angulos es estrictamente menor que 180°
2. La suma de las medidas de los ángulos es igual a 180°
3. La suma de las medidas de los ángulos es estrictamente mayor que 180°
   
   Pretendia excluir las  opciones 1. y 3. es decir si suponía que eran ciertas llegar a una contradicción, pero siempre se encontrababan en las supuestas demostraciones que se utilizaba de alguna manera sutil una versión equivalente del quinto postulado.
   
   Aquí están algunas formas equivalentes de presentar el quinto postulado:

1. La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
   Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
3. Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela. Esta formulación es la más conocida y es debida al matemático griego Proclo. Se la conoce también como «postulado de las paralelas» (o axioma de Playfair¹ ).
4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita.
5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta (Clavio, 1574).
7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).
9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).
11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).
12. No hay patrón métrico absoluto de longitud (Gauss, 1816).

Otra forma equivalente del quinto postulado es famoso teorema de pitagoras, que todos estudiamos en la escuela,
"El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" 

La polémica termino en el siglo XIX, cuando Bolyai, Lobachevsky, y  Gauss,  casi de manera simultanea, mostraron que en realidad el quinto postulado era independiente de los anteriores postulados,  lo hicieron utilizando la formulación equivalente

"Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a la recta dada"

Crearan nuevas geometrias negando el quinto postulado, es decir reemplazaban el quinto postulado por su negación

 "Por un punto exterior a una recta pasa mas de una paralela"

y obtenían una nueva geometría que no llevaba a contradicciones.

Pasaba lo mismo si tomaban como postulado que

"Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela"

es decir también obtenían una nueva geometría que no llevaba a contradicciones


Estas geometrías son las llamadas geometrías NO euclidianas






Fuentes
Wikipedia
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Geometria/Elemental/Quinpos.htm